常见的随机过程

正态过程

多维正态分布的概率密度和特征函数

记

则\((X,Y)\)的联合概率密度为

证明随机过程\(X(t)\)是正态过程

要证明随机过程\(X(t)\)是正态过程，即证对\(\forall t_1,t_2,\dots\) , \(t_n，(X(t_1),X(t_2),\dots,X(t_n))\)是\(n\)维正态分布。

方法1：用特征函数

方法2：正态分布的线性不变性

正态分布的线性不变性:

正态分布的线性变换不变性:

维纳过程

维纳过程的分布

设\(t>s\)，因\(W(0)=0\),且\(W(t)\)是平稳独立增量过程，故

\[W(t) - W(s) = W(t-s+s)- W(s)\]

与

\[W(t-s) - W(0) = W(t-s)\] 有相同分布\(N(0,\sigma^2 (t-s))\)。

维纳过程是正态过程。

维纳过程的数字特征

维纳过程是平稳独立增量过程，其数字特征如下。

计数过程和泊松过程

定义

计数过程：

Poisson过程是一类很重要的计数过程。

Poisson过程数学模型：

齐次泊松过程

泊松过程的等价定义

齐次泊松过程的有关结论

数字特征

均值函数： \(m(t)=E\{N(t)\}=\lambda t\)

方差函数: \(D(t)=\lambda t\)

协方差函数: \(C(s,t)=\lambda min(s,t)\)

相关函数： \(R(s,t)=\lambda min(s,t)+\lambda^2 st\)

故有\(\lambda=\frac{E\{N(t)\}}{t}\),称\(\lambda\)为事件的到达率或单位时间内事件出现的平均次数。

时间间隔与等待时间的分布

如下图所示，\(N(t)\)是轨道是跃度为\(1\)的阶梯函数。

用\(T_n\)表示事件\(A\)第\(n-1\)次出现与第\(n\)次出现的时间间隔。\(W_n\)为事件\(A\)第\(n\)次出现的等待时间(到达时间)，则有：

\[W_n=\sum\limits_{i=1}^nT_i\]

和

\[T_n=W_n - W_{n-1}\]

到达时间的条件分布