Jordan标准型

Jordan标准型

Jordan标准型定义

其中 \(J_1(\lambda_1),J_2(\lambda_2)\)分别构成Jardon块。

即对任意矩阵 \(A\)，比存在n阶可逆矩阵\(P\)，使 \[P^{-1}AP=\begin{bmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_n \end{bmatrix} = J\]

每一个 \(J\) 都是Jardon块 \[J_i=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & & \\ & & \ddots &1 \\ & & & \lambda_i \end{bmatrix}\]

Jordan标准型的结构与结论

• Jordan标准型的个数\(k\)是线性无关特征向量的个数
• 矩阵可对角化当且仅当\(k=n\)
• 相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该特征值的几何重数，它是相应的特征子空间的维数，相应于一个已知特征值的所有Jordan的阶数之和，是该特征值的代数重数
• 特征值的几何重数 < 代数重数
• 矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关

定理2